Encabezado editorial
Objetivos de aprendizaje
- Reconocer las cuatro representaciones principales de una función: fórmula, tabla, gráfica y descripción verbal.
- Traducir información funcional de una representación a otra sin perder dominio, unidades, escala ni condiciones del problema.
- Construir tablas a partir de fórmulas y usar tablas para bosquejar gráficas razonables.
- Inferir una fórmula posible a partir de una tabla o de una descripción verbal sencilla, justificando las hipótesis usadas.
- Detectar errores frecuentes al leer gráficos sin escala, tablas con pocos datos o descripciones verbales ambiguas.
Conceptos clave
- Representación algebraica o fórmula.
- Representación tabular.
- Representación gráfica.
- Representación verbal o contextual.
- Variable independiente y variable dependiente.
- Lectura de ejes, escala, unidades y dominio.
- Equivalencia entre representaciones.
- Muestreo de valores y bosquejo gráfico.
Desarrollo teórico
2.1. Una misma función, varios lenguajes
En la lección anterior definimos una función como una regla que asigna a cada elemento del dominio un único elemento del codominio. Esa regla puede presentarse de muchas maneras. A veces aparece como una fórmula; otras veces como una tabla de datos; en un libro de cálculo suele aparecer como una gráfica; en física, química o economía puede aparecer primero como una frase que describe una relación entre magnitudes.
La idea importante es esta: la representación no es la función. La representación es el lenguaje que usamos para mostrarla. Una fórmula puede ser muy compacta, una tabla puede ser cómoda para trabajar con datos medidos, una gráfica puede revelar tendencias de un vistazo, y una descripción verbal puede conectar la función con una situación real. Aprender funciones exige aprender a cambiar de lenguaje.
Principio de traducción
Dos representaciones describen la misma función cuando asignan el mismo valor de salida a cada valor admisible de entrada, con el mismo dominio declarado o con un dominio compatible explícitamente indicado.
2.2. Representación mediante fórmula
La representación algebraica o fórmula expresa la función mediante una expresión simbólica. Por ejemplo,
$$f(x)=x^2-4x+3.$$
Esta representación permite calcular valores con precisión, estudiar restricciones del dominio, simplificar expresiones y, más adelante, derivar o integrar. Su fuerza es la exactitud. Su debilidad es que no siempre muestra de inmediato el comportamiento global: una fórmula puede ocultar, por ejemplo, dónde crece la función, dónde corta a los ejes o cómo se ve su gráfica.
Al leer una fórmula conviene identificar tres cosas: la variable independiente, la variable dependiente y el dominio. En $f(x)=x^2-4x+3$, la variable independiente es $x$ y la variable dependiente es $f(x)$, que también puede escribirse como $y$ cuando se grafica. Si no se declara dominio, se suele tomar el dominio natural real: todos los valores de $x$ para los cuales la expresión tiene sentido.
2.3. Representación mediante tabla
Una tabla muestra pares de valores $(x,f(x))$. Es especialmente útil cuando la función proviene de mediciones, experimentos o datos discretos. Por ejemplo, para la función anterior podemos elegir algunos valores de $x$ y calcular sus imágenes:
| $x$ | $f(x)=x^2-4x+3$ |
|---|---|
| $-1$ | $8$ |
| $0$ | $3$ |
| $1$ | $0$ |
| $2$ | $-1$ |
| $3$ | $0$ |
| $4$ | $3$ |
| $5$ | $8$ |
La tabla no muestra todos los valores de la función si el dominio es infinito, pero sí ofrece una muestra organizada. En este ejemplo aparecen dos rasgos importantes: el valor mínimo entre los datos listados ocurre en $x=2$, y los valores se repiten simétricamente alrededor de $x=2$. Eso anticipa la forma parabólica de la gráfica.
Ejemplo guiado: elegir valores útiles
Si queremos estudiar $f(x)=x^2-4x+3$, no conviene elegir valores al azar. Como la expresión puede escribirse en forma de vértice:
$$f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1,$$
sabemos que el eje de simetría es $x=2$. Por eso una tabla con valores simétricos alrededor de $2$, como $-1,0,1,2,3,4,5$, revela mejor la forma de la función que una tabla con valores dispersos.
2.4. Representación gráfica
La gráfica de una función real de variable real es el conjunto de puntos del plano de la forma $(x,f(x))$. En símbolos:
$$G_f=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=f(x),\ x\in\operatorname{Dom}(f)\bigr\}.$$
La gráfica traduce una regla funcional a una imagen geométrica. Su ventaja es que permite ver tendencia, cortes con los ejes, simetrías, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y discontinuidades. Su riesgo es que puede engañar si no se muestran claramente la escala, las unidades y el dominio representado. Dos gráficas con la misma forma visual pueden representar funciones muy distintas si los ejes tienen escalas diferentes.
Para construir una gráfica básica desde una tabla, se ubican los puntos $(x,f(x))$ en el plano y luego se decide si tiene sentido unirlos. Si el dominio es discreto, como un conjunto de años o de personas, los puntos no deberían unirse automáticamente. Si el dominio es un intervalo real y la función varía de manera continua, unirlos suele ser razonable como bosquejo.
2.5. Representación verbal o contextual
Una descripción verbal expresa la función mediante palabras. Por ejemplo:
Ejemplo guiado: de frase a fórmula
"El costo total de un servicio es una suma fija de $700$ pesos más $350$ pesos por cada kilómetro recorrido".
Si $x$ es la cantidad de kilómetros y $C(x)$ el costo total, entonces la frase se traduce como
$$C(x)=700+350x.$$
El dominio contextual no es todo $\mathbb{R}$: no tiene sentido recorrer una distancia negativa. Si se admiten valores decimales de kilómetros, un dominio razonable es $x\geq 0$. Si el servicio solo se cobra hasta cierta distancia máxima, habría que declararlo.
La traducción desde lenguaje natural exige decidir qué magnitud será la entrada, qué magnitud será la salida, qué unidades se usan y qué restricciones impone el contexto. Estas decisiones no son detalles secundarios: forman parte de la función.
2.6. Traducción entre representaciones
Traducir una función de una representación a otra no es copiar información mecánicamente. Es interpretar. La siguiente tabla resume qué pregunta conviene hacer en cada cambio:
| De | Hacia | Pregunta guía |
|---|---|---|
| Fórmula | Tabla | ¿Qué valores del dominio conviene evaluar para revelar el comportamiento? |
| Tabla | Gráfica | ¿Los puntos deben quedar aislados o tiene sentido unirlos? |
| Gráfica | Tabla | ¿Qué puntos se pueden leer con suficiente precisión? |
| Descripción verbal | Fórmula | ¿Cuál es la variable independiente, cuál la dependiente y qué operaciones describe el texto? |
| Tabla | Fórmula | ¿Hay un patrón reconocible o solo tenemos datos parciales? |
En cursos iniciales es común que una tabla permita adivinar una fórmula lineal o cuadrática. Pero hay que ser prudentes: una cantidad finita de puntos no determina una única función. Por ejemplo, muchos polinomios distintos pueden pasar por los mismos tres puntos. Por eso, cuando inferimos una fórmula desde datos, siempre debemos declarar la hipótesis usada.
Checklist para leer una representación
- Identificar la entrada y la salida.
- Declarar o inferir el dominio relevante.
- Revisar unidades y escala.
- Decidir si la representación es exacta, aproximada o parcial.
- Al traducir, conservar la información esencial y señalar lo que se pierde.
2.7. Variables independiente y dependiente
En una función $y=f(x)$, la variable $x$ se llama independiente porque elegimos sus valores dentro del dominio. La variable $y$ se llama dependiente porque queda determinada por la regla de la función. En contextos aplicados esta elección debe tener sentido: si el costo depende de los kilómetros, los kilómetros son la entrada y el costo la salida; si la temperatura depende del tiempo, el tiempo es la entrada y la temperatura la salida.
No obstante, la elección de variables puede cambiar según la pregunta. En una tabla de datos experimentales, decidir cuál variable se considera independiente es una decisión de modelización. Por eso una buena representación no solo muestra valores: también comunica qué depende de qué.
2.8. Errores frecuentes y controles
- Creer que una tabla finita determina una función única. Una tabla puede sugerir una regla, pero no la garantiza sin hipótesis adicionales.
- Unir puntos que no deberían unirse. Si el dominio es discreto, unirlos puede inventar valores intermedios que no existen en el problema.
- Leer una gráfica sin mirar la escala. La forma visual no alcanza: las marcas de los ejes cambian la interpretación.
- Olvidar unidades. Una pendiente de "350" no significa nada si no sabemos si son pesos por kilómetro, metros por segundo o gramos por litro.
- Traducir una descripción verbal como si el dominio fuera siempre $\mathbb{R}$. En problemas reales suelen aparecer restricciones contextuales: tiempos no negativos, cantidades enteras, longitudes positivas, capacidades máximas.
2.9. Cierre de la lección
El estudio de funciones avanza cuando podemos movernos con soltura entre lenguajes. La fórmula permite calcular y operar; la tabla organiza valores; la gráfica muestra comportamiento; la descripción verbal conecta la matemática con una situación. Ninguna representación es superior en todos los contextos. La habilidad universitaria consiste en elegir la más útil, traducirla con cuidado y saber qué información se gana o se pierde en cada paso.
Ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1 — De fórmula a tabla, gráfica y descripción verbal
Consigna. Sea $f(x)=x^2-4x+3$, con dominio $\mathbb{R}$. Construya una tabla de valores útil, indique los cortes con los ejes, describa la forma de la gráfica y escriba una descripción verbal breve de la función.
Resolución paso a paso.
Primero conviene reescribir la fórmula completando cuadrados:
$$f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$
Esta forma muestra que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba, con vértice en $(2,-1)$ y eje de simetría $x=2$.
Construimos una tabla simétrica alrededor de $2$:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $8$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $8$ |
Los cortes con el eje $x$ se obtienen resolviendo $x^2-4x+3=0$:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \text{ o } x=3.$$
Por lo tanto, la gráfica corta al eje horizontal en $(1,0)$ y $(3,0)$. El corte con el eje $y$ se obtiene en $x=0$: $f(0)=3$, de modo que el punto es $(0,3)$.
Una descripción verbal posible es: "a cada número real $x$ se le asigna el cuadrado de su distancia a $2$, menos $1$". Esta descripción corresponde a la forma $(x-2)^2-1$ y explica por qué el valor mínimo es $-1$ en $x=2$.
Comentario. La fórmula factorizada destaca los ceros, la forma de vértice destaca el mínimo y la tabla destaca la simetría. Son tres miradas de la misma función.
Ejercicio resuelto 2 — De tabla a fórmula plausible
Consigna. La siguiente tabla representa una función $g$ definida para algunos valores enteros de $x$:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ |
Proponga una fórmula cuadrática compatible con la tabla y verifique que reproduce los datos.
Resolución paso a paso.
Los valores bajan hasta $0$ cuando $x=1$ y luego vuelven a subir. Esto sugiere una parábola con vértice en $(1,0)$. Una fórmula cuadrática sencilla con ese vértice es
$$g(x)=a(x-1)^2.$$
Usamos un dato de la tabla para hallar $a$. Como $g(0)=1$, resulta
$$1=a(0-1)^2=a,$$
por lo tanto $a=1$ y la fórmula propuesta es
$$g(x)=(x-1)^2.$$
Verificamos:
- $g(-2)=(-3)^2=9$.
- $g(-1)=(-2)^2=4$.
- $g(0)=(-1)^2=1$.
- $g(1)=0^2=0$.
- $g(2)=1^2=1$.
Comentario. La fórmula $g(x)=(x-1)^2$ es compatible con la tabla y con la hipótesis de que la función es cuadrática. Sin esa hipótesis, la tabla por sí sola no determina una única función en todo $\mathbb{R}$.
Ejercicios propuestos
Resuelva cada ítem antes de mirar la respuesta. Las respuestas breves están al final de la sección.
Nivel 1 — Comprensión
- Para cada caso, indique si la función está representada mediante fórmula, tabla, gráfica o descripción verbal. Si aparece más de una representación, indique cuáles.
- (a) $A(t)=\pi t^2$.
- (b) "La masa de una muestra aumenta $3$ g por cada unidad agregada".
- (c) Un plano cartesiano con una recta dibujada y sus ejes marcados.
- (d) Una lista de pares $(0,2)$, $(1,5)$, $(2,8)$, $(3,11)$.
- Explique en una o dos oraciones qué información puede verse más rápido en una gráfica que en una fórmula.
Nivel 2 — Traducción y cálculo
- Complete una tabla para $f(x)=x^2-2x$ usando $x=-2,-1,0,1,2,3,4$. Luego indique si los valores sugieren algún eje de simetría.
- Traduzca la frase a fórmula y a tabla: "El costo de impresión de un folleto tiene un cargo fijo de $1200$ pesos y $80$ pesos por cada copia". Use $n=0,10,20,50$ copias.
Nivel 3 — Integración e interpretación
- La tabla siguiente muestra algunos valores de una función lineal: $h(0)=4$, $h(1)=7$, $h(2)=10$, $h(3)=13$. Proponga una fórmula y escriba una descripción verbal de la regla.
- La altura aproximada de una pelota en función del tiempo está dada por $s(t)=-5t^2+20t+1$, con $t\geq0$ medido en segundos y $s(t)$ en metros.
- (a) Calcule $s(0)$, $s(1)$, $s(2)$, $s(3)$ y $s(4)$.
- (b) Construya una tabla y describa verbalmente el comportamiento.
- (c) ¿Por qué no conviene tomar como dominio todos los números reales?
Respuestas breves
- (a) Fórmula. (b) Descripción verbal. (c) Gráfica. (d) Tabla o representación por pares ordenados.
- Una gráfica permite ver de un vistazo cortes con los ejes, crecimiento o decrecimiento, máximos, mínimos, simetrías y comportamiento global aproximado.
- Tabla: $f(-2)=8$, $f(-1)=3$, $f(0)=0$, $f(1)=-1$, $f(2)=0$, $f(3)=3$, $f(4)=8$. Sugiere eje de simetría $x=1$.
- Si $C(n)$ es el costo, $C(n)=1200+80n$. Tabla: $C(0)=1200$, $C(10)=2000$, $C(20)=2800$, $C(50)=5200$. Dominio contextual: $n$ entero no negativo.
- La diferencia entre valores consecutivos es $3$, por lo que una fórmula compatible es $h(x)=3x+4$. Descripción: a cada entrada se le suma $4$ después de triplicarla, o bien la salida aumenta $3$ por cada unidad que aumenta la entrada.
- (a) $s(0)=1$, $s(1)=16$, $s(2)=21$, $s(3)=16$, $s(4)=1$. (b) La altura sube hasta alrededor de $t=2$ y luego baja simétricamente en esos valores. (c) Los tiempos negativos no tienen sentido en el contexto del lanzamiento; además, después de tocar el suelo el modelo deja de ser físicamente aplicable.
Figuras sugeridas
Figura L02-1 — Cuatro representaciones de una misma función
Composición en cuatro paneles para $f(x)=x^2$: panel 1 con la fórmula destacada; panel 2 con tabla de valores $x=-2,-1,0,1,2$; panel 3 con gráfica parabólica en el plano cartesiano, eje de simetría y vértice; panel 4 con descripción verbal: "a cada número real se le asigna su cuadrado". Unir visualmente los cuatro paneles con flechas para mostrar que son lenguajes distintos de la misma función.
Figura L02-2 — La escala de los ejes cambia la lectura
Dos gráficos de la misma función lineal o cuadrática mostrados con escalas distintas en los ejes. El objetivo es que el estudiante perciba cómo una gráfica puede parecer más empinada, más chata o más cerrada según la escala elegida. Incluir marcas numéricas claras y una advertencia visual: "mirar siempre la escala".
Conexión con simulaciones, Calculas o Python
Para relacionar fórmula, tabla y gráfica conviene usar la simulación de función cuadrática. Al modificar los parámetros se observa cómo cambia la fórmula y cómo ese cambio se refleja inmediatamente en la gráfica.
En Calculas se puede crear una tabla de valores a partir de una fórmula. Una celda breve como f = x**2 - 4*x + 3; [(v, f.subs(x, v)) for v in range(-1, 6)] ayuda a verificar la tabla y a pasar luego al bosquejo gráfico.