Encabezado editorial
Objetivos de aprendizaje
Al finalizar la lección, el estudiante debería poder:
- Decidir si una correspondencia entre dos conjuntos es o no una función, aplicando el criterio de unicidad de la imagen.
- Identificar el dominio, el codominio y la imagen de una función dada por fórmula, tabla o gráfica.
- Usar la notación funcional $f:A\to B$, $f(x)$, y evaluar funciones en valores numéricos y en expresiones simbólicas.
- Aplicar la prueba de la recta vertical para decidir si un gráfico representa una función.
- Reconocer los errores frecuentes asociados a la confusión entre función, fórmula y gráfico.
Conceptos clave
- Función: regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro.
- Relación: cualquier correspondencia entre dos conjuntos, sin exigencia de unicidad.
- Dominio: conjunto de partida de la función.
- Codominio: conjunto de llegada, que contiene a todas las posibles imágenes.
- Imagen (o rango): subconjunto del codominio formado por los valores efectivamente alcanzados.
- Notación funcional: escritura $f:A\to B$ y $f(x)=\dots$, que separa la regla del nombre que le damos.
- Prueba de la recta vertical: criterio gráfico para decidir si una curva en el plano corresponde a una función.
Desarrollo teórico
1.1. Introducción conceptual
En la vida cotidiana usamos la idea de función sin nombrarla. Cuando decimos que el costo de un viaje en taxi depende de los kilómetros recorridos, estamos afirmando que existe una regla que asigna a cada cantidad de kilómetros un único valor de costo. Cuando una tabla de temperatura horaria muestra para cada hora del día una única temperatura, estamos describiendo una función. La matemática hace con esa idea cotidiana lo que suele hacer: la limpia, le pone nombres precisos y la formaliza para que valga en cualquier contexto.
La intuición central es la de regla de correspondencia. Una función no es el dibujo de su gráfica, ni la fórmula que la define, ni la tabla que la lista: es la asignación que existe detrás de todas esas representaciones. Las representaciones se estudian en L02; en esta lección nos concentramos en la asignación misma.
1.2. Definición de función
Definición
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Una función de $A$ en $B$ es una regla que asigna a cada elemento $x\in A$ exactamente un elemento de $B$. Ese elemento se llama imagen de $x$ y se denota $f(x)$. Escribimos
$$f: A \longrightarrow B,\qquad x \longmapsto f(x).$$
La definición tiene dos exigencias que conviene leer despacio. La primera, totalidad: la regla debe estar definida para todos los elementos de $A$, sin excepciones. La segunda, unicidad: para cada $x\in A$ hay un solo valor $f(x)\in B$. Si falla alguna, la regla no es función.
1.3. Relación y función
Llamamos relación entre $A$ y $B$ a cualquier subconjunto $R\subseteq A\times B$, es decir, cualquier colección de pares ordenados $(x,y)$ con $x\in A$ e $y\in B$. Una relación, sin más, no impone ni totalidad ni unicidad: pueden quedar elementos de $A$ sin pareja, y puede haber elementos de $A$ que aparezcan en varios pares.
Una función es entonces una relación particular: aquella en la que cada $x\in A$ aparece en exactamente un par $(x,y)$. Esta perspectiva (función como relación con propiedades extra) es útil cuando manejamos datos discretos, como en una tabla.
Ejemplo guiado: tres correspondencias
Sea $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{a,b,c\}$. Consideremos tres correspondencias:
- $R_1=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}$: a cada elemento de $A$ le corresponde uno de $B$ y solo uno. Es función.
- $R_2=\{(1,a),(2,b)\}$: el elemento $3$ no aparece. Falla la totalidad. No es función de $A$ en $B$.
- $R_3=\{(1,a),(1,b),(2,c),(3,a)\}$: el elemento $1$ aparece dos veces, con imágenes distintas. Falla la unicidad. No es función.
Observe que $R_2$ sí sería función si tomáramos $A'=\{1,2\}$ como dominio. La pregunta "¿es función?" siempre se hace respecto de un dominio y un codominio fijos.
1.4. Dominio, codominio e imagen
Tres conjuntos acompañan a toda función:
- El dominio $\operatorname{Dom}(f)=A$ es el conjunto de partida.
- El codominio $\operatorname{Cod}(f)=B$ es el conjunto de llegada declarado.
- La imagen $\operatorname{Im}(f)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B$ es el conjunto de los valores que la función efectivamente toma.
La imagen es siempre un subconjunto del codominio, pero no tiene por qué coincidir con él. Esta distinción es fundamental: dos funciones con la misma regla pueden ser consideradas distintas si declaramos codominios distintos, y esto influye en propiedades posteriores (sobreyectividad, existencia de inversa). En cursos introductorios de cálculo solemos trabajar con $A,B\subseteq\mathbb{R}$, y muchas veces se omite el codominio asumiendo $B=\mathbb{R}$.
Ejemplo guiado: identificar los tres conjuntos
Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2$. Entonces:
- $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$.
- $\operatorname{Cod}(f)=\mathbb{R}$ (es la elección que hicimos al escribir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$).
- $\operatorname{Im}(f)=[0,+\infty)$, porque $x^2\geq 0$ para todo $x$ y todo número no negativo se alcanza con algún $x$.
La imagen es estrictamente menor que el codominio: ningún número negativo aparece como $f(x)$. La función está bien definida y la elección del codominio es válida; simplemente no es sobreyectiva sobre $\mathbb{R}$. Si quisiéramos que coincida con la imagen, escribiríamos $f:\mathbb{R}\to[0,+\infty)$.
1.5. Notación funcional
La notación funcional se compone de dos piezas que conviene no mezclar. La primera, $f:A\to B$, declara quién es la función: cuál es su nombre y entre qué conjuntos opera. La segunda, $f(x)=\text{expresión en }x$, da la regla que define la asignación.
El símbolo $x$ es una variable muda: podríamos haberla llamado $t$, $u$ o lo que fuera, sin alterar la función. Lo importante es que $f(x)$ se lee "$f$ evaluada en $x$" y representa el valor que la función asigna a $x$, no a la función. Confundir $f$ con $f(x)$ es uno de los errores más frecuentes en este punto del curso.
Convención de dominio natural
Cuando una función se define solo por una fórmula, sin declarar explícitamente su dominio, se entiende por convención que el dominio es el conjunto más grande de números reales para los que la fórmula tiene sentido. Es lo que llamaremos dominio natural y se estudia con cuidado en L03.
1.6. Evaluación de funciones
Evaluar una función en un valor significa sustituir la variable por ese valor y simplificar la expresión resultante. La operación es mecánica, pero suele ocultar errores de signos, de paréntesis o de orden.
Ejemplo guiado: evaluación numérica y simbólica
Sea $f(x)=x^2-3x+2$. Calculamos:
- $f(0)=0^2-3\cdot 0+2=2$.
- $f(-1)=(-1)^2-3\cdot(-1)+2=1+3+2=6$. Los paréntesis alrededor de $-1$ son críticos para no equivocarse con el signo del cuadrado.
- $f(a+1)=(a+1)^2-3(a+1)+2=a^2+2a+1-3a-3+2=a^2-a$. Evaluar en una expresión es lo mismo que evaluar en un número: se sustituye la variable y se simplifica.
1.7. Prueba de la recta vertical
Cuando una función está dada por su gráfica en el plano cartesiano, podemos decidir si efectivamente representa una función sin necesidad de una fórmula. La idea es geométrica: si la función asigna a cada $x$ del dominio un único valor $y=f(x)$, entonces ninguna recta vertical $x=c$ puede cortar al gráfico en más de un punto.
Prueba de la recta vertical
Una curva $C$ en el plano es el gráfico de una función $y=f(x)$ si y solo si toda recta vertical $x=c$ corta a $C$ en a lo sumo un punto.
Una circunferencia, por ejemplo, no es el gráfico de una función: cualquier recta vertical interior a ella la corta en dos puntos. Para describir una circunferencia hacen falta dos funciones (una para la mitad superior y otra para la mitad inferior) o una parametrización con un parámetro $t$, que se ve más adelante.
1.8. Errores frecuentes y controles
- Confundir $f$ con $f(x)$. El primero es la función completa, el segundo es el valor en un punto. Frases como "graficar $f(x)$" son ambiguas pero aceptadas; lo grave es escribir "sea $f(x)=x^2$ una función" y después tratar a $f(x)$ como si fuera un número fijo.
- Olvidar los paréntesis al evaluar en expresiones negativas o compuestas. $f(-x)$ no es lo mismo que $-f(x)$, y olvidar paréntesis lleva a confundirlos.
- Asumir que el codominio coincide con la imagen. En general no es así. La imagen depende de la regla, el codominio es una elección.
- Aplicar la prueba de la recta vertical a un dibujo aproximado. Si la gráfica tiene puntos no marcados o trazos imprecisos, el criterio puede engañar. Cuando hay duda, conviene mirar la fórmula.
- Confundir relación con función. Toda función es una relación, pero no toda relación es función. Si un elemento del dominio aparece con dos imágenes distintas, hay relación pero no función.
1.9. Cierre de la lección
Lo central de esta lección es que una función no es la fórmula que la representa, sino la regla de correspondencia que asigna, a cada elemento del dominio, una única imagen en el codominio. Esa unicidad es la propiedad definitoria. Sobre ella montaremos en L02 las representaciones (fórmula, tabla, gráfica, descripción verbal) y en L03 el análisis sistemático del dominio. Las nociones de relación, dominio, codominio, imagen, notación funcional, evaluación y prueba de la recta vertical son herramientas que se usan en todo el curso y conviene tenerlas firmes antes de avanzar.
Ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1 — Decidir si una correspondencia es función
Consigna. Para cada una de las correspondencias siguientes, decida si define una función de $A$ en $B$ y justifique. En caso afirmativo, indique imagen.
- $A=B=\mathbb{R}$, regla "a cada $x$ le corresponde el número $y$ tal que $y^2=x$".
- $A=\{-2,-1,0,1,2\}$, $B=\mathbb{Z}$, regla "$g(x)=x^3$".
- $A=\mathbb{R}$, $B=\mathbb{R}$, regla "$h(x)=1/x$".
Resolución paso a paso.
(1) Si $x>0$, hay dos valores de $y$ con $y^2=x$ (las dos raíces, una positiva y otra negativa). Falla la unicidad: no es función. Si quisiéramos rescatar una función, deberíamos especificar cuál de las dos raíces tomamos; el resultado habitual es $f(x)=\sqrt{x}$ con dominio $[0,+\infty)$, que toma siempre la raíz no negativa.
(2) La regla $g(x)=x^3$ asigna a cada entero $x\in A$ un único entero $g(x)\in B$. Cumple totalidad y unicidad: sí es función. La imagen es $g(A)=\{(-2)^3,(-1)^3,0^3,1^3,2^3\}=\{-8,-1,0,1,8\}$, estrictamente más chica que $B=\mathbb{Z}$.
(3) La regla $h(x)=1/x$ no está definida en $x=0$. Como $0\in A=\mathbb{R}$, falla la totalidad: no es función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Sí sería función si tomáramos $A=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, con imagen $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Comentario. Los tres ítems ilustran las dos causas estándar por las que una correspondencia falla en ser función: o aparece más de una imagen para un mismo $x$ (problema de unicidad, caso 1), o hay un $x$ sin imagen (problema de totalidad, caso 3). El segundo caso muestra una función legítima cuya imagen es estrictamente menor que su codominio.
Ejercicio resuelto 2 — Evaluación numérica y simbólica
Consigna. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$. Calcule, cuando sea posible, $f(0)$, $f(2)$, $f(-3)$, $f(1)$ y $f(a+1)$ (con $a\neq 0$). Discuta qué pasa en $x=1$.
Resolución paso a paso.
Antes de calcular conviene mirar la fórmula. El denominador se anula cuando $x=1$, así que la fórmula no está definida en ese punto. El dominio natural de $f$ es $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Lo declarado al inicio ("$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$") debe corregirse: lo correcto es escribir $f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}$.
Calculamos en los puntos donde está definida:
- $f(0)=\dfrac{0^2-1}{0-1}=\dfrac{-1}{-1}=1$.
- $f(2)=\dfrac{2^2-1}{2-1}=\dfrac{3}{1}=3$.
- $f(-3)=\dfrac{(-3)^2-1}{-3-1}=\dfrac{8}{-4}=-2$.
En $x=1$ la fórmula da $0/0$, indeterminado. $f(1)$ no existe. Sin embargo, observamos que para todo $x\neq 1$ se cumple $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. Es decir, la función coincide con $g(x)=x+1$ en todo su dominio, pero no en $x=1$ (donde $f$ no está definida y $g$ sí). Esta distinción será central en L02 cuando estudiemos límites.
Para $f(a+1)$, con $a\neq 0$ (para que $a+1\neq 1$):
$$f(a+1)=\frac{(a+1)^2-1}{(a+1)-1}=\frac{a^2+2a+1-1}{a}=\frac{a^2+2a}{a}=\frac{a(a+2)}{a}=a+2.$$
Comentario. El ejercicio muestra dos cosas. Primero, que el dominio declarado puede ser incorrecto y conviene revisarlo antes de evaluar. Segundo, que tener la misma fórmula simplificada que otra función no las hace iguales: $f$ y $g(x)=x+1$ difieren en su dominio. Esta sutileza vuelve a aparecer al estudiar continuidad.
Ejercicios propuestos
Resuelva cada ítem antes de mirar la respuesta. Las respuestas breves están al final de la sección.
Nivel 1 — Comprensión
- Para cada correspondencia, decida si define una función de $A$ en $B$ y justifique en una línea.
- (a) $A=B=\mathbb{R}$, regla "a cada $x$ le corresponde $y=2x+5$".
- (b) $A=\{0,1,2\}$, $B=\{a,b,c\}$, pares $\{(0,a),(1,b),(2,a),(2,c)\}$.
- (c) $A=\mathbb{R}$, $B=\mathbb{R}$, regla "$y=\sqrt{x-4}$".
- Sea $f:\{1,2,3,4\}\to\mathbb{Z}$ dada por la tabla
$f(1)=-2,\quad f(2)=0,\quad f(3)=5,\quad f(4)=5.$
Indique $\operatorname{Dom}(f)$, $\operatorname{Cod}(f)$ e $\operatorname{Im}(f)$.
Nivel 2 — Cálculo
- Sea $f(x)=2x^2-x+3$. Calcule $f(0)$, $f(-2)$, $f(1/2)$ y $f(t-1)$.
- Sea $g(x)=\dfrac{1}{x+2}$. Indique el dominio natural y calcule $g(0)$, $g(-1)$, $g(3)$ y $g(h-2)$, suponiendo $h\neq 0$.
Nivel 3 — Interpretación
- La tabla siguiente muestra la temperatura $T$ (en grados Celsius) medida en una estación meteorológica a distintas horas del día.
$T(6)=8,\ T(9)=12,\ T(12)=18,\ T(15)=21,\ T(18)=16,\ T(21)=10.$
- (a) ¿Define $T$ una función? Justifique en términos de dominio e unicidad.
- (b) Si en otro registro alguien anota $T(15)=20$ y $T(15)=21$, ¿qué se debe corregir para que siga siendo función?
- Decida cuáles de las siguientes curvas en el plano son gráficos de funciones $y=f(x)$, aplicando la prueba de la recta vertical. Cuando no lo sean, indique una recta vertical que las corte en más de un punto.
- (a) Recta $y=3x-1$.
- (b) Circunferencia $x^2+y^2=4$.
- (c) Parábola horizontal $x=y^2$.
- (d) Curva $y=|x|$ (gráfico del valor absoluto).
Respuestas breves
- (a) Sí, regla totalmente definida y única. (b) No: el elemento $2$ aparece con dos imágenes ($a$ y $c$), falla unicidad. (c) No es función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$: para $x<4$ la fórmula no tiene sentido en $\mathbb{R}$, falla totalidad. Sí sería función con $A=[4,+\infty)$.
- $\operatorname{Dom}(f)=\{1,2,3,4\}$, $\operatorname{Cod}(f)=\mathbb{Z}$, $\operatorname{Im}(f)=\{-2,0,5\}$.
- $f(0)=3$; $f(-2)=2\cdot 4+2+3=13$; $f(1/2)=2\cdot\tfrac14-\tfrac12+3=3$; $f(t-1)=2(t-1)^2-(t-1)+3=2t^2-5t+6$.
- Dominio natural $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. $g(0)=1/2$, $g(-1)=1$, $g(3)=1/5$, $g(h-2)=1/h$.
- (a) Sí: cada hora del registro tiene un único valor de temperatura. Dominio: las seis horas listadas. (b) Para que siga siendo función debe quedar una única temperatura asociada a $t=15$; revisar la medición y conservar solo el valor correcto.
- (a) Sí, es función (recta no vertical). (b) No: la recta $x=0$ la corta en $(0,2)$ y $(0,-2)$. (c) No: la recta $x=1$ la corta en $(1,1)$ y $(1,-1)$. (d) Sí, es función con $\operatorname{Im}=[0,+\infty)$.
Figuras sugeridas
Figura L01-1 — Diagrama de Venn de tres correspondencias
Tres paneles con diagramas de Venn de $A=\{1,2,3\}$ hacia $B=\{a,b,c\}$. Panel 1: flechas $1\to a$, $2\to b$, $3\to c$ (función, todo cubierto, sin ambigüedad). Panel 2: flechas $1\to a$, $2\to b$, sin flecha desde $3$ (no función: falla totalidad, marcar $3$ con un círculo rojo). Panel 3: flechas $1\to a$, $1\to b$, $2\to c$, $3\to a$ (no función: falla unicidad, resaltar el elemento $1$). La idea es que el estudiante reconozca de un vistazo qué propiedad falla en cada caso.
Figura L01-2 — Prueba de la recta vertical
Cuatro paneles con curvas en el plano cartesiano y una recta vertical superpuesta a cada una. Panel 1: recta $y=3x-1$ cortada una sola vez (función). Panel 2: circunferencia $x^2+y^2=4$ cortada por $x=0$ en dos puntos, ambos marcados (no función). Panel 3: parábola horizontal $x=y^2$ cortada por $x=1$ en dos puntos (no función). Panel 4: $y=|x|$ cortada en un solo punto (función). En cada panel etiquetar los puntos de corte y la conclusión.
Conexión con simulaciones, Calculas o Python
Para visualizar cómo una regla simple produce un único valor por entrada, conviene jugar con la simulación de función lineal del sitio: al modificar pendiente y ordenada se observa que cada $x$ tiene una sola $y$ asociada y que la prueba de la recta vertical se cumple en cualquier recta no vertical.
En Calculas se puede evaluar una función simbólica en varios valores de una sola vez, lo que ayuda a entender que la función no es un número sino una regla. Una celda corta como f = x**2 - 3*x + 2; [f.subs(x, v) for v in [0, -1, 2]] devuelve la lista de imágenes y deja claro el papel de $x$ como variable muda.