Encabezado editorial
Objetivos de aprendizaje
- Distinguir dominio declarado, dominio natural y dominio contextual.
- Determinar dominios de funciones con denominadores, raíces de índice par, logaritmos y combinaciones de restricciones.
- Comprender la imagen de una función como conjunto de valores efectivamente alcanzados.
- Leer dominio e imagen desde una gráfica o desde una descripción geométrica.
- Explicar por qué dos expresiones algebraicamente parecidas pueden definir funciones distintas si tienen dominios diferentes.
- Aplicar restricciones de dominio en situaciones de modelización.
Conceptos clave
- Dominio declarado y dominio natural.
- Codominio e imagen.
- Restricción por denominador no nulo.
- Restricción por raíz de índice par.
- Restricción por argumento positivo de un logaritmo.
- Intersección de condiciones.
- Dominio contextual.
- Lectura gráfica de dominio e imagen.
- Funciones equivalentes como expresiones versus funciones iguales.
Desarrollo teórico
3.1. Por qué el dominio importa
En las dos primeras lecciones trabajamos con la idea de función y con sus formas de representación. Ahora aparece una pregunta que atraviesa todo el cálculo: ¿para qué valores está definida la función? La respuesta no es una formalidad. Si cambiamos el dominio, cambiamos la función, cambiamos su gráfica, cambiamos su imagen y cambiamos el significado del problema.
Por ejemplo, la expresión $f(x)=x^2$ puede usarse como una función definida en todos los reales, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$; pero también puede usarse como modelo del área de un cuadrado de lado $x$, en cuyo caso solo tiene sentido considerar $x\geq 0$. La expresión algebraica es la misma; la función, entendida como regla con dominio, no es exactamente la misma.
Idea central
Una función no queda completamente determinada solo por una fórmula. Para describirla con precisión hay que indicar, explícita o implícitamente, su dominio y el conjunto donde se interpretan sus valores.
3.2. Dominio declarado, dominio natural y dominio contextual
El dominio declarado es el conjunto de entradas que el enunciado fija de manera explícita. Por ejemplo, si se escribe
$$f:[0,5]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2-2x,$$
el dominio de $f$ es $[0,5]$, aunque la fórmula $x^2-2x$ tendría sentido para cualquier número real. El enunciado manda.
El dominio natural de una expresión real es el conjunto más grande de números reales para los cuales la expresión tiene sentido dentro de los números reales. Si se da solo la fórmula y no se declara dominio, en muchos cursos se adopta por convención el dominio natural real. Por ejemplo:
- Para $f(x)=x^2-3x+1$, el dominio natural es $\mathbb{R}$.
- Para $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, el dominio natural es $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
- Para $h(x)=\sqrt{x-4}$, el dominio natural es $[4,\infty)$.
- Para $p(x)=\ln(x+1)$, el dominio natural es $(-1,\infty)$.
El dominio contextual aparece cuando la función modela una situación. En ese caso no basta con que la fórmula tenga sentido algebraico; los valores deben tener sentido en el fenómeno. Si $C(n)=1200n+500$ representa el costo en pesos de imprimir $n$ cuadernillos, y la impresora puede hacer a lo sumo $40$ cuadernillos, un dominio razonable es
$$\{0,1,2,\ldots,40\},$$
no todos los reales. No tiene sentido imprimir $2{,}7$ cuadernillos ni $-3$ cuadernillos.
3.3. Imagen: qué valores realmente salen
La imagen de una función es el conjunto de valores de salida que efectivamente se alcanzan al recorrer todo el dominio. Si $f:A\to B$, entonces
$$\operatorname{Im}(f)=\{f(x):x\in A\}.$$
La imagen siempre es un subconjunto del codominio. Puede coincidir con él, pero no tiene por qué hacerlo. Por ejemplo, si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ está dada por $f(x)=x^2$, su imagen es $[0,\infty)$, no todo $\mathbb{R}$, porque ningún número real elevado al cuadrado da un valor negativo.
Encontrar la imagen suele ser más delicado que encontrar el dominio. Para el dominio miramos qué entradas son admisibles; para la imagen debemos estudiar qué salidas se obtienen. A veces alcanza con conocer la forma de una función elemental; otras veces se necesita resolver ecuaciones, completar cuadrados, analizar una gráfica o usar herramientas de cálculo más adelante.
Ejemplo guiado: misma fórmula, distinta imagen
Considere $f(x)=x^2$.
- Si el dominio es $\mathbb{R}$, la imagen es $[0,\infty)$.
- Si el dominio es $[0,3]$, la imagen es $[0,9]$.
- Si el dominio es $[-2,1]$, la imagen es $[0,4]$, porque el valor máximo se alcanza en $x=-2$ y el mínimo en $x=0$.
La fórmula no cambió, pero el dominio sí; por eso cambia la imagen.
3.4. Restricciones por denominadores
En una función racional, todo denominador debe ser distinto de cero. La regla práctica es sencilla: se excluyen los valores que anulan algún denominador. Por ejemplo, para
$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-5x+6},$$
el denominador se factoriza como
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Por lo tanto, no se admiten $x=2$ ni $x=3$, y el dominio natural es
$$\mathbb{R}\setminus\{2,3\}.$$
Es importante no cancelar factores antes de pensar en el dominio. La expresión
$$\frac{x^2-1}{x-1}$$
se simplifica algebraicamente como $x+1$ para $x\ne 1$, pero la función original no está definida en $x=1$. Como función con dominio natural, no es igual a $g(x)=x+1$ definida en todo $\mathbb{R}$: tienen la misma fórmula simplificada en casi todos los puntos, pero distinto dominio.
3.5. Restricciones por raíces de índice par
Si trabajamos con funciones reales, una raíz de índice par exige que su radicando sea mayor o igual que cero. Para
$$h(x)=\sqrt{2x-6},$$
la condición es
$$2x-6\geq 0 \quad\Rightarrow\quad x\geq 3.$$
Entonces el dominio natural es $[3,\infty)$. En cambio, una raíz cúbica como $\sqrt[3]{x-5}$ no impone esta restricción, porque está definida para todo número real.
Cuando la raíz aparece en un denominador, la condición se vuelve más fuerte: además de tener radicando no negativo, el denominador no puede ser cero. Por ejemplo, para
$$r(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}},$$
se necesita $x-4>0$, no solo $x-4\geq 0$. Por lo tanto, el dominio es $(4,\infty)$.
3.6. Restricciones por logaritmos
En el campo real, el logaritmo solo acepta argumentos positivos. Por eso, si aparece $\ln(A(x))$ o $\log(A(x))$, debe cumplirse
$$A(x)>0.$$
Por ejemplo, para
$$q(x)=\ln(5-x),$$
la condición es
$$5-x>0\quad\Rightarrow\quad x<5,$$
y el dominio natural es $(-\infty,5)$. Para una expresión más rica, como
$$s(x)=\log(x^2-9),$$
se necesita
$$x^2-9>0\quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)>0.$$
El producto es positivo fuera de las raíces, entonces el dominio es
$$(-\infty,-3)\cup(3,\infty).$$
3.7. Restricciones combinadas
Cuando aparecen varias restricciones, el dominio natural se obtiene por intersección de todas las condiciones. Conviene escribirlas por separado, resolverlas y recién al final combinarlas. Por ejemplo, para
$$F(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1},$$
tenemos dos condiciones:
- por la raíz: $x+2\geq 0$, es decir $x\geq -2$;
- por el denominador: $x-1\ne 0$, es decir $x\ne 1$.
La intersección da
$$[-2,\infty)\setminus\{1\}.$$
Este procedimiento evita errores típicos, como quedarse con una sola restricción o unir condiciones que deberían intersectarse.
Procedimiento para hallar dominios naturales
- Identificar todas las operaciones que pueden restringir la entrada: denominadores, raíces pares, logaritmos, potencias con exponentes no enteros, funciones trigonométricas inversas, etc.
- Escribir una condición para cada restricción.
- Resolver cada condición por separado.
- Tomar la intersección de todas las condiciones.
- Revisar si el contexto impone restricciones adicionales.
3.8. Dominio contextual y modelización
En aplicaciones, el dominio suele estar limitado por el significado de las variables. Si $A(r)=\pi r^2$ representa el área de un círculo de radio $r$, el dominio contextual es $r\geq 0$. Si $V(t)=10+3t$ representa el volumen de agua en un recipiente durante una carga que dura $8$ minutos, el dominio contextual natural es $0\leq t\leq 8$. Si $N(k)$ representa la cantidad de estudiantes que eligen una opción $k$, entonces $k$ puede pertenecer a un conjunto discreto de categorías, no a un intervalo real.
Esta distinción es crucial para la lectura crítica de modelos. Una fórmula puede seguir dando números después del intervalo de validez, pero esos números no necesariamente significan algo. Un modelo lineal de temperatura, población, altura o concentración no debe extrapolarse sin revisar su dominio realista.
3.9. Lectura de dominio e imagen desde una gráfica
Desde una gráfica, el dominio se lee proyectando la curva sobre el eje horizontal: miramos qué valores de $x$ aparecen en algún punto de la gráfica. La imagen se lee proyectando la curva sobre el eje vertical: miramos qué valores de $y$ son alcanzados.
Para hacerlo bien hay que observar los extremos. Un punto lleno indica que el valor está incluido; un punto abierto indica que no está incluido. Una flecha puede indicar que la gráfica continúa indefinidamente. Por ejemplo, si una curva empieza en un punto lleno en $x=-2$, termina en un punto abierto en $x=5$ y no tiene interrupciones intermedias, su dominio es $[-2,5)$. Si los valores verticales van desde $-1$ incluido hasta $4$ no incluido, la imagen es $[-1,4)$.
En una gráfica con varios tramos, el dominio y la imagen pueden ser uniones de intervalos. Conviene analizarlos tramo por tramo, y luego reunir los valores obtenidos.
3.10. Errores frecuentes
- Confundir dominio con imagen. El dominio vive en el eje horizontal; la imagen vive en el eje vertical.
- Olvidar que el logaritmo exige argumento positivo, no no-negativo. Para $\ln(A)$ se necesita $A>0$, no $A\geq 0$.
- Permitir que un denominador sea cero después de cancelar. La restricción original no desaparece por simplificar la expresión.
- Resolver cada condición correctamente pero unirlas mal. En dominios combinados se intersectan las condiciones, no se elige la más cómoda.
- Ignorar el contexto. Una fórmula puede aceptar valores que no tienen sentido físico, químico, biológico o económico.
- Leer una gráfica sin mirar puntos abiertos y cerrados. La inclusión de extremos cambia intervalos como $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$ y $[a,b]$.
3.11. Cierre de la lección
Determinar dominios e imágenes es una habilidad básica para todo el cálculo. Antes de derivar, integrar, graficar o modelizar, necesitamos saber dónde vive la función y qué valores puede producir. La lección siguiente usará estas ideas para estudiar familias elementales de funciones: lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. En todas ellas, el dominio será parte de la identidad de la función.
Ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1 — Dominio con raíz y denominador
Consigna. Determine el dominio natural real de
$$f(x)=\frac{\sqrt{2x-6}}{x^2-9}.$$
Resolución paso a paso.
Primero identificamos las restricciones. La raíz cuadrada exige que el radicando sea no negativo:
$$2x-6\geq 0 \quad\Rightarrow\quad x\geq 3.$$
El denominador exige que $x^2-9\ne 0$. Factorizamos:
$$x^2-9=(x-3)(x+3),$$
por lo tanto se excluyen $x=3$ y $x=-3$.
Ahora intersectamos las condiciones. La raíz permite $x\geq 3$, pero el denominador excluye $x=3$. La exclusión de $x=-3$ ya queda fuera por la condición $x\geq 3$.
Entonces el dominio natural es
$$\operatorname{Dom}(f)=(3,\infty).$$
Comentario. El valor $x=3$ parece permitido por la raíz porque hace $2x-6=0$, pero no está permitido por el denominador. Cuando hay varias restricciones, todas deben cumplirse simultáneamente.
Ejercicio resuelto 2 — Dominio con logaritmo y raíz en el denominador
Consigna. Determine el dominio natural real de
$$g(x)=\frac{\ln(5-x)}{\sqrt{x+1}}.$$
Resolución paso a paso.
El logaritmo exige argumento positivo:
$$5-x>0\quad\Rightarrow\quad x<5.$$
La raíz cuadrada aparece en el denominador. Por eso no alcanza con $x+1\geq 0$; necesitamos que la raíz sea estrictamente positiva:
$$x+1>0\quad\Rightarrow\quad x>-1.$$
Intersectamos ambas condiciones:
$$x>-1 \quad \text{y} \quad x<5.$$
Luego, el dominio natural es
$$\operatorname{Dom}(g)=(-1,5).$$
Comentario. Este ejemplo muestra dos desigualdades estrictas por razones distintas: el logaritmo no admite argumento cero y el denominador no puede anularse.
Ejercicio resuelto 3 — Dominio e imagen de una función por tramos
Consigna. Sea
$$
h(x)=\begin{cases}
-x-1, & -3\leq x< -1,\\
2, & -1\leq x\leq 2,\\
(x-2)^2+2, & 2 Determine el dominio y la imagen. Resolución paso a paso. El dominio se lee directamente de las condiciones de cada tramo: $$[-3,-1)\cup[-1,2]\cup(2,4]=[-3,4].$$ Para la imagen analizamos cada tramo. Unimos las imágenes parciales: $$(0,2]\cup\{2\}\cup(2,6]=(0,6].$$ Por lo tanto, $$\operatorname{Dom}(h)=[-3,4],\qquad \operatorname{Im}(h)=(0,6].$$ Comentario. La imagen requiere más cuidado que el dominio: no basta con unir las condiciones de los tramos, sino que hay que mirar qué valores toma cada fórmula.
Ejercicios propuestos
Resuelva cada ítem antes de consultar la respuesta breve. En todos los casos, salvo que se indique otra cosa, trabaje con funciones reales de variable real y con dominio natural.
Nivel 1 — Restricciones básicas
- Determine el dominio natural de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-4}$.
- Determine el dominio natural de $g(x)=\sqrt{5-2x}$.
- Determine el dominio natural de $h(x)=\ln(x^2-9)$.
Nivel 2 — Restricciones combinadas
- Determine el dominio natural de $p(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.
- Determine el dominio natural de $q(x)=\dfrac{\ln(4-x)}{\sqrt{x+2}}$.
- Determine el dominio natural de $r(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}$.
Nivel 3 — Imagen, gráfica y contexto
- Sea $F(x)=x^2-4$ con dominio declarado $[-1,3]$. Determine su imagen.
- Una función representa la cantidad de agua, en litros, dentro de un tanque durante una carga de $12$ minutos. El modelo es $V(t)=50+8t$. Proponga un dominio contextual razonable y determine la imagen correspondiente.
Respuestas breves
- $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.
- $(-\infty,5/2]$.
- $(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$.
- $[-1,\infty)\setminus\{2\}$.
- $(-2,4)$.
- $(-\infty,-3)\cup[1,\infty)$.
- La imagen es $[-4,5]$. El mínimo se alcanza en $x=0$ y el máximo en $x=3$.
- Dominio contextual: $[0,12]$. Imagen: $[50,146]$ litros.
Figuras sugeridas
Figura L03-1 — Mapa de restricciones de dominio
Diagrama de flujo con tres ramas principales: denominadores, raíces pares y logaritmos. Cada rama debe mostrar la condición correspondiente: denominador distinto de cero, radicando mayor o igual que cero, argumento del logaritmo positivo. Al final, una caja destacada debe decir: “Dominio final = intersección de todas las condiciones + restricciones del contexto”.
Figura L03-2 — Lectura gráfica de dominio e imagen
Plano cartesiano con una curva por tramos, puntos abiertos y cerrados, y proyecciones sombreadas sobre los ejes. La proyección horizontal debe señalar el dominio; la proyección vertical, la imagen. Incluir etiquetas “punto incluido” y “punto excluido”.
Conexiones con simulaciones, Calculas y Python
Las restricciones de dominio aparecen de forma natural al explorar familias de funciones y transformaciones. Para conectar esta lección con recursos interactivos del sitio, conviene usar especialmente:
- Simulación de función exponencial y logarítmica, para visualizar por qué el logaritmo solo aparece a la derecha de su asíntota vertical.
- Simulación de transformaciones de funciones, para observar cómo traslaciones y escalas modifican dominios e imágenes.
- Calculas, para verificar dominios, evaluar funciones y comparar expresiones simplificadas.
Actividad breve con Calculas
Ingresar funciones como sqrt(x-3), 1/(x-2) y log(x+1). Luego comparar la gráfica esperada con las restricciones obtenidas algebraicamente. La herramienta ayuda a visualizar, pero la justificación del dominio debe escribirse con desigualdades.